一、选择题（每小题3分，共15分）

1. 设G是一个群，如果对于任意a,b属于G有(ab)^2 = a^2b^2，则G是：

A. 阿贝尔群 B. 循环群 C. 有限群 D. 半群

2. 下列哪个集合关于普通的加法和乘法运算构成一个域？

A. 实数集R B. 有理数集Q C. 整数集Z D. 自然数集N

3. 如果一个环R中的元素a满足a^n = a (n为正整数)，则称a为幂等元。那么，在一个有限环中，幂等元的数量最多为：

A. 1个 B. 2个 C. n个 D. 无穷多个

4. 在模p的剩余类环Z_p中，p为素数，下列说法正确的是：

A. Z_p没有零因子 B. Z_p存在零因子 C. Z_p是域 D. Z_p不是环

5. 设R是一个交换环，I是R的理想，若R/I是一个域，则I是：

A. 幂零理想 B. 素理想 C. 最大理想 D. 零理想

二、填空题（每空2分，共10分）

6. 设G是一个阶为12的群，若G中有唯一的6阶子群，则G是__________。

7. 若环R中每个非零元素都是可逆元，则R称为__________。

8. 设R是一个环，若对任意a,b属于R都有(ab)^2 = a^2b^2，则R称为__________。

9. 设F是一个域，若F的特征为p，则p是__________。

10. 设R是一个环，I是R的理想，若R/I是一个域，则I是R的__________。

三、解答题（每题10分，共50分）

11. 证明：在任何群中，单位元是唯一的。

12. 设R是一个环，证明：如果R的每一个非零元素都是可逆元，则R是一个域。

13. 设G是一个群，H是G的一个子群，证明：如果H的指数[G:H]是素数，则H是G的最大子群。

14. 设R是一个环，I是R的理想，证明：如果R/I是一个域，则I是R的最大理想。

15. 设G是一个有限群，证明：如果G的每一个元素的阶都等于G的阶，则G是循环群。

四、证明题（每题15分，共30分）

16. 设R是一个环，证明：如果R的每一个非零理想都是R本身，则R是一个除环。

17. 设G是一个有限群，证明：如果G的每一个Sylow p-子群都是正规子群，则G是可解群。

以上就是本次近世代数期末试卷的内容，希望大家认真复习，取得好成绩！