一、选择题(每小题3分,共15分)
1. 设G是一个群,如果对于任意a,b属于G有(ab)^2 = a^2b^2,则G是:
A. 阿贝尔群 B. 循环群 C. 有限群 D. 半群
2. 下列哪个集合关于普通的加法和乘法运算构成一个域?
A. 实数集R B. 有理数集Q C. 整数集Z D. 自然数集N
3. 如果一个环R中的元素a满足a^n = a (n为正整数),则称a为幂等元。那么,在一个有限环中,幂等元的数量最多为:
A. 1个 B. 2个 C. n个 D. 无穷多个
4. 在模p的剩余类环Z_p中,p为素数,下列说法正确的是:
A. Z_p没有零因子 B. Z_p存在零因子 C. Z_p是域 D. Z_p不是环
5. 设R是一个交换环,I是R的理想,若R/I是一个域,则I是:
A. 幂零理想 B. 素理想 C. 最大理想 D. 零理想
二、填空题(每空2分,共10分)
6. 设G是一个阶为12的群,若G中有唯一的6阶子群,则G是__________。
7. 若环R中每个非零元素都是可逆元,则R称为__________。
8. 设R是一个环,若对任意a,b属于R都有(ab)^2 = a^2b^2,则R称为__________。
9. 设F是一个域,若F的特征为p,则p是__________。
10. 设R是一个环,I是R的理想,若R/I是一个域,则I是R的__________。
三、解答题(每题10分,共50分)
11. 证明:在任何群中,单位元是唯一的。
12. 设R是一个环,证明:如果R的每一个非零元素都是可逆元,则R是一个域。
13. 设G是一个群,H是G的一个子群,证明:如果H的指数[G:H]是素数,则H是G的最大子群。
14. 设R是一个环,I是R的理想,证明:如果R/I是一个域,则I是R的最大理想。
15. 设G是一个有限群,证明:如果G的每一个元素的阶都等于G的阶,则G是循环群。
四、证明题(每题15分,共30分)
16. 设R是一个环,证明:如果R的每一个非零理想都是R本身,则R是一个除环。
17. 设G是一个有限群,证明:如果G的每一个Sylow p-子群都是正规子群,则G是可解群。
以上就是本次近世代数期末试卷的内容,希望大家认真复习,取得好成绩!