高等数学是许多学科的基础，对于理工科学生来说尤为重要。为了帮助大家更好地理解和掌握高等数学的知识点，本文将提供一些典型的高等数学试题，并附上详细的参考解答。
一、函数与极限
题目1：求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 的极限 $\lim_{x \to 2} f(x)$。
解答：
首先观察到分母在 $x = 2$ 时为零，因此需要对分子进行因式分解。
$$
f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}.
$$
当 $x \neq 2$ 时，可以约去 $(x - 2)$，得到：
$$
f(x) = x + 2.
$$
因此，$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。
二、导数与微分
题目2：设函数 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求其导数 $g'(x)$。
解答：
利用幂函数的求导法则，逐项求导：
$$
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x).
$$
计算每一项：
$$
\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2, \quad \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x, \quad \frac{d}{dx}(2x) = 2.
$$
因此，
$$
g'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
$$
三、积分与定积分
题目3：计算定积分 $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx$。
解答：
先计算不定积分：
$$
\int (x^2 + 2x + 1) dx = \int x^2 dx + \int 2x dx + \int 1 dx.
$$
分别计算各部分：
$$
\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 2x dx = x^2, \quad \int 1 dx = x.
$$
因此，
$$
\int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C.
$$
代入上下限 $[0, 1]$：
$$
\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^1.
$$
计算：
$$
\left(\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}.
$$
四、级数与无穷序列
题目4：判断级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 是否收敛。
解答：
这是一个著名的调和级数的变形，称为$p$-级数，其中$p = 2 > 1$。根据$p$-级数的收敛性判别法，当$p > 1$时，级数收敛。因此，$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛。
以上是几道典型的高等数学试题及其详细解答。通过这些练习，希望能帮助大家巩固基础知识并提高解题能力。如果还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时提问！
