在解析几何中，研究直线之间的关系是一个重要的课题。其中，两条平行线之间的距离问题经常出现在数学考试以及实际应用中。为了方便计算和理解，我们引入了专门用于求解两条平行线间距离的公式。

假设已知两条平行线分别为 $ L_1: Ax + By + C_1 = 0 $ 和 $ L_2: Ax + By + C_2 = 0 $，它们具有相同的法向量 $(A, B)$，因此可以确定这两条直线是平行的。接下来，我们将推导出这两条平行线之间的垂直距离公式。

推导过程

根据点到直线的距离公式，任意一点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离为：

$$

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

为了求两条平行线之间的距离，我们可以选择其中一条直线上的一点作为参考点，并利用上述公式计算该点到另一条直线的距离。由于两条直线平行且方向相同，因此无论选取哪条直线上的点，最终得到的距离值都是一致的。

不妨设 $L_1$ 上任意一点 $(x_1, y_1)$ 满足方程 $Ax_1 + By_1 + C_1 = 0$。将其代入点到直线的距离公式，则有：

$$

d = \frac{|A(x_1) + B(y_1) + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

注意到 $Ax_1 + By_1 = -C_1$（由 $L_1$ 的定义可知），代入上式后可得：

$$

d = \frac{|(-C_1) + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

这就是两条平行线之间的距离公式。

应用举例

假设有两条平行线分别为：

$$

L_1: 3x + 4y - 5 = 0, \quad L_2: 3x + 4y + 7 = 0

$$

这里 $A = 3$, $B = 4$, $C_1 = -5$, $C_2 = 7$。将这些参数代入公式，可以得到两条平行线之间的距离：

$$

d = \frac{|7 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12}{5} = 2.4

$$

因此，这两条平行线之间的距离为 $2.4$ 单位长度。

总结

通过以上推导可以看出，利用两条平行线间的距离公式，可以快速准确地计算出它们之间的垂直距离。这一工具不仅在理论学习中有重要意义，在解决实际问题时也发挥着重要作用。希望读者能够熟练掌握并灵活运用这一公式！