在数学分析中，夹逼定理（Squeeze Theorem）是一个非常重要的工具，用于求解某些复杂极限问题。它的核心思想是通过将目标函数夹在两个已知极限的函数之间，从而推导出目标函数的极限值。

假设我们有三个函数 \(f(x)\)，\(g(x)\) 和 \(h(x)\)，并且满足以下条件：

1. 对于所有 \(x\) 在某个区间内（除了可能的一个点），都有 \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\)。

2. 当 \(x\) 趋近于某一点 \(a\) 时，\(f(x)\) 和 \(h(x)\) 的极限都存在，并且相等，即 \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\)。

根据夹逼定理，我们可以得出结论：\(\lim_{x \to a} g(x) = L\)。

练习题

接下来，让我们通过一些具体的例子来练习使用夹逼定理。

题目 1

计算 \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\)。

解答：

我们知道 \(-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1\) 对于所有 \(x \neq 0\) 都成立。因此，可以得到：

\[ -x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 \]

当 \(x \to 0\) 时，\(-x^2\) 和 \(x^2\) 的极限都是 0。根据夹逼定理，我们可以得出：

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \]

题目 2

计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n}\)。

解答：

由于 \(-1 \leq \sin(n) \leq 1\)，我们可以得到：

\[ -\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n} \]

当 \(n \to \infty\) 时，\(-\frac{1}{n}\) 和 \(\frac{1}{n}\) 的极限都是 0。因此，根据夹逼定理：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0 \]

题目 3

计算 \(\lim_{x \to 0} x^3 \cos\left(\frac{1}{x}\right)\)。

解答：

类似题目 1，我们知道 \(-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1\) 对于所有 \(x \neq 0\) 都成立。因此：

\[ -x^3 \leq x^3 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^3 \]

当 \(x \to 0\) 时，\(-x^3\) 和 \(x^3\) 的极限都是 0。根据夹逼定理，我们可以得出：

\[ \lim_{x \to 0} x^3 \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \]

总结

通过以上练习，我们可以看到夹逼定理在处理涉及三角函数或无界函数的极限问题时是非常有效的。熟练掌握这一方法，不仅能够帮助解决复杂的极限问题，还能加深对极限概念的理解。希望这些练习能帮助你更好地掌握夹逼定理的应用技巧！