在数学的学习过程中，平面向量是一个非常重要的章节，它不仅是几何学的基础，也是物理学中力、速度等矢量分析的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，这里精心挑选了一些经典的练习题，供各位同学巩固和提升。

练习题一：向量的基本运算

已知向量 \(\vec{a} = (3, 4)\)，\(\vec{b} = (-1, 2)\)。求：

1. 向量 \(\vec{a} + \vec{b}\)

2. 向量 \(2\vec{a} - \vec{b}\)

3. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的点积

解答：

1. \(\vec{a} + \vec{b} = (3-1, 4+2) = (2, 6)\)

2. \(2\vec{a} - \vec{b} = 2(3, 4) - (-1, 2) = (6+1, 8-2) = (7, 6)\)

3. 点积 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(-1) + 4(2) = -3 + 8 = 5\)

练习题二：向量的模长与方向角

已知向量 \(\vec{c} = (5, 12)\)，求：

1. 向量 \(\vec{c}\) 的模长

2. 向量 \(\vec{c}\) 的方向角（与正x轴的夹角）

解答：

1. 模长 \(|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

2. 方向角 \(\theta = \arctan\left(\frac{12}{5}\right)\)

练习题三：向量的平行与垂直

已知向量 \(\vec{d} = (2, k)\)，\(\vec{e} = (4, 8)\)。

1. 当 \(k\) 取何值时，\(\vec{d}\) 与 \(\vec{e}\) 平行？

2. 当 \(k\) 取何值时，\(\vec{d}\) 与 \(\vec{e}\) 垂直？

解答：

1. 平行条件：\(\frac{2}{4} = \frac{k}{8}\)，解得 \(k = 4\)

2. 垂直条件：\(2(4) + k(8) = 0\)，解得 \(k = -1\)

以上题目涵盖了平面向量的基本运算、模长与方向角以及平行与垂直关系等内容，希望同学们通过这些练习能够更加熟练地掌握平面向量的相关知识。练习是学习的关键，只有多做题、多思考，才能真正理解并灵活运用所学知识。

如果你有其他问题或需要更多练习题，请随时告诉我！