在数学学习中，完全平方公式是一个非常重要的知识点，它不仅在代数运算中有着广泛的应用，同时也是解决更复杂问题的基础工具之一。为了帮助大家更好地掌握这一公式，下面我们将通过一系列练习题来巩固相关的知识。

什么是完全平方公式？

完全平方公式指的是形如\( (a+b)^2 \)或\( (a-b)^2 \)的表达式展开后的结果。具体来说：

- \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

- \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

这两个公式是代数中最基本也是最常用的公式之一，熟练运用它们可以大大简化计算过程。

练习题部分

第一组：基础练习

1. 计算 \( (x+3)^2 \)

2. 展开 \( (y-5)^2 \)

3. 求解 \( (2m+4n)^2 \)

4. 化简 \( (7p-3q)^2 \)

第二组：综合应用

5. 如果 \( x=4 \)，求 \( (x+6)^2 \) 的值。

6. 已知 \( y=-2 \)，计算 \( (y-8)^2 \)。

7. 给定 \( m=3, n=2 \)，请计算 \( (m+n)^2 \) 和 \( (m-n)^2 \)。

8. 假设 \( p=5, q=1 \)，试求 \( (p-q)^2 \) 与 \( (p+q)^2 \) 的差值。

第三组：挑战题目

9. 设 \( z_1=a+b \)，\( z_2=a-b \)，证明 \( z_1^2+z_2^2=2(a^2+b^2) \)。

10. 若 \( x+y=10 \)，且 \( xy=24 \)，求 \( (x-y)^2 \) 的值。

答案解析

1. \( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)

2. \( (y-5)^2 = y^2 - 10y + 25 \)

3. \( (2m+4n)^2 = 4m^2 + 16mn + 16n^2 \)

4. \( (7p-3q)^2 = 49p^2 - 42pq + 9q^2 \)

5. 当 \( x=4 \)，\( (x+6)^2 = 100 \)

6. 当 \( y=-2 \)，\( (y-8)^2 = 100 \)

7. 当 \( m=3, n=2 \)，\( (m+n)^2 = 25 \)，\( (m-n)^2 = 1 \)

8. 当 \( p=5, q=1 \)，\( (p-q)^2 - (p+q)^2 = -40 \)

9. 根据定义验证即可得证。

10. 利用公式 \( (x-y)^2=(x+y)^2-4xy \)，得到答案为 \( 4 \)。

通过以上练习题，希望大家能够更加熟悉并灵活运用完全平方公式。记住，多做练习是提高数学能力的关键所在！