【指数函数的概念-练习题】在数学的学习过程中，指数函数是一个非常重要的知识点，它不仅在高中阶段的课程中占据重要地位，也在后续的高等数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握指数函数的基本概念和相关性质，以下是一些与“指数函数的概念”相关的练习题，旨在通过实际问题加深对这一知识的理解。
一、选择题（每题只有一个正确答案）
1. 下列函数中，属于指数函数的是（ ）
A. $ y = x^2 $
B. $ y = 2^x $
C. $ y = \log_2 x $
D. $ y = x^3 $
2. 指数函数的一般形式是（ ）
A. $ y = a^x $（其中 $ a > 0 $）
B. $ y = x^a $（其中 $ a > 0 $）
C. $ y = \log_a x $（其中 $ a > 0 $）
D. $ y = a^x $（其中 $ a \neq 1 $）
3. 若函数 $ f(x) = (a - 1)^x $ 是指数函数，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A. $ a > 0 $
B. $ a \neq 1 $
C. $ a > 1 $
D. $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $
4. 函数 $ y = 3^x $ 的图像经过哪个点？（ ）
A. $ (0, 0) $
B. $ (1, 1) $
C. $ (0, 1) $
D. $ (1, 3) $
5. 下列关于指数函数的说法中，错误的是（ ）
A. 指数函数的定义域为全体实数
B. 指数函数的值域为正实数
C. 当 $ a > 1 $ 时，函数在定义域上单调递增
D. 当 $ 0 < a < 1 $ 时，函数在定义域上单调递增
二、填空题
1. 函数 $ y = 5^x $ 的底数是 ________。
2. 若函数 $ y = a^x $ 是指数函数，则 $ a $ 的取值范围是 ________。
3. 函数 $ y = 2^{x+1} $ 的图像可以看作是由函数 $ y = 2^x $ 向 ________ 平移一个单位得到的。
4. 已知 $ f(x) = 3^x $，则 $ f(2) = $ ________。
5. 若 $ f(x) = a^x $ 在 $ x=0 $ 处的函数值为 1，则 $ a = $ ________。
三、解答题
1. 判断下列函数是否为指数函数，并说明理由：
（1）$ y = (-2)^x $
（2）$ y = 1^x $
（3）$ y = 0.5^x $
2. 已知函数 $ f(x) = a^x $ 的图像经过点 $ (2, 9) $，求 $ a $ 的值。
3. 比较大小：
（1）$ 2^{3} $ 和 $ 3^{2} $
（2）$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $ 和 $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} $
4. 写出函数 $ y = 4^x $ 的图像特征，并说明其单调性。
5. 设函数 $ f(x) = (m - 1)^x $ 是指数函数，求实数 $ m $ 的取值范围。
四、拓展思考题（选做）
1. 指数函数 $ y = a^x $ 的图像是否一定经过点 $ (0, 1) $？为什么？
2. 若两个指数函数 $ y = a^x $ 和 $ y = b^x $ 的图像相交于一点，试分析可能的条件。
3. 某种细菌每小时繁殖一倍，若初始数量为 100 个，写出其数量随时间变化的函数表达式，并计算 5 小时后的数量。
参考答案（供练习后核对）：
一、选择题：
1. B；2. A；3. D；4. D；5. D
二、填空题：
1. 5；2. $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $；3. 左；4. 9；5. 1
三、解答题：
略（建议自行推导并验证）
四、拓展思考题：
略（鼓励独立思考与探索）
通过这些练习题，可以帮助你巩固对指数函数的理解，并提升解题能力。希望你在学习过程中不断积累经验，逐步掌握这一重要的数学工具。
