【(完整版)射影定理练习x】在几何学习中，射影定理是一个非常重要的知识点，尤其在初中和高中阶段的平面几何中有着广泛的应用。它不仅帮助我们理解三角形中边与角之间的关系，还能为后续学习解析几何、立体几何等打下坚实的基础。

本练习题集涵盖了射影定理的基本概念、常见题型及解题思路，旨在帮助学生系统掌握该知识点，并提升综合运用能力。

一、射影定理的基本内容

射影定理是关于直角三角形中各边之间关系的一个重要定理。其基本形式如下：

在直角三角形中，斜边上的高将斜边分成两段，这两段分别与对应的直角边形成相似三角形。因此，有以下关系成立：

设△ABC为直角三角形，∠C = 90°，CD为斜边AB上的高，则：

1. AC² = AD × AB

2. BC² = BD × AB

3. CD² = AD × BD

此外，还存在一个常用的公式：AC × BC = AB × CD，即两条直角边的乘积等于斜边与高之积。

二、典型例题解析

【例题1】

在直角三角形ABC中，∠C = 90°，CD⊥AB，AD = 4，DB = 9，求CD的长度。

解法：

根据射影定理中的第三条：CD² = AD × DB

代入数据得：CD² = 4 × 9 = 36

所以，CD = √36 = 6

【例题2】

已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 5，求BC的长度。

解法：

先利用勾股定理求出BC的长度：

BC = √(AB² - AC²) = √(169 - 25) = √144 = 12

再利用射影定理：AC² = AD × AB

即：25 = AD × 13 → AD = 25/13

同理可求BD = AB - AD = 13 - 25/13 = 144/13

然后可验证CD² = AD × BD = (25/13) × (144/13) = 3600/169

所以CD = √(3600/169) = 60/13

三、练习题精选

1. 在直角三角形中，斜边长为10，一条直角边为6，求斜边上的高。

2. 已知直角三角形中，两条直角边分别为8和15，求斜边上的高。

3. 若直角三角形中，斜边被高分成的两段分别为3和12，求斜边的长度。

4. 在△ABC中，∠C = 90°，CD为高，若AD = 2，CD = 4，求BC的长度。

5. 已知直角三角形ABC中，AB = 25，AC = 7，求CD的长度。

四、总结与建议

射影定理虽然看似简单，但在实际应用中需要结合勾股定理、相似三角形等知识灵活运用。建议同学们在做题时注意以下几点：

- 熟悉射影定理的三种基本形式；

- 善于画图辅助理解；

- 注意单位统一，避免计算错误；

- 多做变式题，提高解题技巧。

通过不断练习和思考，相信你能够熟练掌握射影定理，并在考试中取得优异成绩。