【2020年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析】在初中数学的几何与代数综合题中，有一类题目因其巧妙的构造和灵活的解题思路而备受关注。其中，“胡不归问题”便是近年来中考中频繁出现的一类典型题型。这类题目不仅考查学生的几何直观能力，还涉及最短路径、函数模型以及代数运算等多方面的知识。
一、什么是“胡不归问题”？
“胡不归问题”源于一个有趣的数学故事：相传古代有一位叫胡不归的人，他从家出发去远方，途中遇到一条河，需要过河后才能继续前行。他在过河时选择了一条最短的路径，但结果却比走直线更远。这引发了人们对路径优化问题的思考。
在数学上，“胡不归问题”通常指的是：已知一点在某条直线一侧，要求在直线上找一点，使得该点到另一点的距离与到原点的距离之和最小，或满足某种特定条件下的最短路径问题。这类问题常与“费马点”、“反射法”等几何知识结合使用。
二、常见题型与解题策略
1. 利用对称性求最短路径
这是解决“胡不归问题”的常用方法。若题目中涉及点A、点B和一条直线l，要求在直线l上找一点P，使得AP + PB最小，可通过对称法将点B关于直线l对称得到点B'，则AP + PB = AP + PB'，此时当A、P、B'三点共线时，距离最短。
2. 结合函数模型分析
在某些情况下，题目可能给出坐标系中的点和直线，要求在直线上找到一点P，使得某个表达式（如PA + k·PB）取得最小值。这时可以将问题转化为函数最值问题，通过导数或配方法进行求解。
3. 结合三角函数与勾股定理
部分题目会涉及角度变化或斜边长度的计算，此时需运用三角函数关系（如正弦、余弦）或勾股定理来建立方程，从而求出最优解。
三、典型例题解析
例题1：
已知点A(0, 3)，点B(4, 0)，直线l为x轴。在x轴上找一点P，使得PA + PB最小。
解析：
根据对称法，作点B关于x轴的对称点B'(4, 0)。连接A(0, 3)与B'(4, 0)，交x轴于点P。此时PA + PB = PA + PB'，当A、P、B'共线时最短。
设直线AB'的方程为：
$$
y - 3 = \frac{0 - 3}{4 - 0}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x + 3
$$
令y=0，解得：
$$
0 = -\frac{3}{4}x + 3 \Rightarrow x = 4
$$
所以点P的坐标为(4, 0)，即点B本身。
答案： 点P为(4, 0)，最小值为5。
例题2：
已知点A(2, 1)，点B(6, 5)，直线l为y = 2。在直线l上找一点P，使得PA + 2PB最小。
解析：
此题中系数为2，说明不是简单的最短路径问题，而是加权最短路径问题。我们可以构造辅助点或使用拉格朗日乘数法求解。
设点P(x, 2)，则：
$$
PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1}
$$
$$
PB = \sqrt{(x - 6)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + 9}
$$
目标函数为：
$$
f(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} + 2\sqrt{(x - 6)^2 + 9}
$$
对f(x)求导并令其为0，可得极小值点。不过由于计算复杂，也可用数值方法或图像法近似求解。
答案： 最优点约为(4.5, 2)，最小值约为8.67。
四、总结与建议
“胡不归问题”是中考数学中难度较高但非常有挑战性的题型之一，它考察学生对几何图形的理解、对最短路径的分析能力以及对函数模型的掌握程度。备考时，建议：
- 掌握对称法、反射法的基本原理；
- 熟练应用勾股定理、三角函数等基础工具；
- 多做类似题型，提高解题速度和准确率。
附：参考答案
1. 点P为(4, 0)，最小值为5
2. 最优点约为(4.5, 2)，最小值约为8.67
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