【不定积分基本公式表】在微积分的学习过程中，不定积分是基础且重要的内容之一。它不仅用于求解函数的原函数，还在物理、工程、经济等多个领域有着广泛的应用。为了帮助学习者更好地掌握和应用不定积分的知识，本文整理了一份不定积分基本公式表，便于查阅与记忆。
一、基本积分法则
1. 常数法则
$$
\int k \, dx = kx + C \quad (k \text{ 为常数})
$$
2. 幂函数积分
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
3. 指数函数积分
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \ne 1)
$$
4. 对数函数积分
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C
$$
5. 三角函数积分
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$
$$
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
$$
$$
\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C
$$
$$
\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C
$$
6. 反三角函数积分
$$
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$
二、常见组合函数积分公式
1. 线性组合
$$
\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx
$$
2. 乘积形式（部分积分法）
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 有理函数积分
对于形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的有理函数，通常需要进行分式分解后再积分。
4. 三角替换法
当被积函数中含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 时，可采用相应的三角代换以简化积分。
三、特殊函数积分
1. 双曲函数积分
$$
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
$$
$$
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
$$
2. 指数与三角函数结合
$$
\int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \sin bx - b \cos bx) + C
$$
$$
\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos bx + b \sin bx) + C
$$
四、总结
掌握不定积分的基本公式是解决复杂积分问题的第一步。通过熟练运用这些公式，并结合适当的积分技巧（如换元法、分部积分、三角替换等），可以更高效地处理各种类型的积分问题。建议在学习过程中不断练习，加深对公式的理解与应用能力。
提示：在实际应用中，需注意积分常数 $C$ 的存在，它是所有可能原函数的集合。同时，不同教材或参考资料可能会有不同的表达方式，但核心思想是一致的。
