据媒体报道，近日，【2020-2021《离散数学》期末期末课程考试试卷(含】引发关注。本试卷为2020-2021学年《离散数学》期末考试试题，涵盖了集合论、逻辑学、图论、关系与函数、数理逻辑等多个核心知识点。以下是对该试卷的总结及参考答案，帮助学生复习与理解相关概念。
一、试卷内容概述
本次考试题型包括选择题、填空题、简答题和证明题，整体难度适中，注重对基础知识的掌握与灵活运用能力的考察。试卷内容主要围绕以下几个方面展开：
| 章节 | 内容概要 | 题型分布 |
| 集合与关系 | 集合的基本运算、关系的性质、等价关系 | 选择题、填空题 |
| 命题逻辑 | 命题的真值表、逻辑等价式、推理规则 | 选择题、简答题 |
| 图论 | 图的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图 | 简答题、证明题 |
| 函数与映射 | 单射、满射、双射 | 填空题、简答题 |
| 数理逻辑 | 谓词逻辑、逻辑推理 | 简答题、证明题 |
二、参考答案汇总
1. 选择题（每题3分，共15分）
| 题号 | 题目 | 答案 |
| 1 | 设A = {1,2}, B = {2,3}，则 A ∪ B 是？ | {1,2,3} |
| 2 | 下列哪个是命题？ | “今天天气很好” |
| 3 | 若R是A上的等价关系，则R具有哪些性质？ | 自反性、对称性、传递性 |
| 4 | 在无向图中，所有顶点的度数之和一定是？ | 偶数 |
| 5 | 下列哪一个不是函数？ | {(1,2), (1,3)} |
2. 填空题（每空2分，共10分）
| 题号 | 题目 | 答案 |
| 1 | 集合{a, b, c}的子集个数为______。 | 8 |
| 2 | 若p → q 的真值为假，则p为______，q为______。 | 真，假 |
| 3 | 在一个简单图中，边数最多为n(n-1)/2，其中n为顶点数，这个图称为______。 | 完全图 |
| 4 | 函数f: A→B，若每个元素在B中都有原像，则称为______函数。 | 满射 |
| 5 | 逻辑公式¬(p ∧ q)等价于______。 | ¬p ∨ ¬q |
3. 简答题（每题5分，共20分）
题目1：简述等价关系的定义及其三个性质。
答案：
等价关系是集合A上的一种二元关系R，满足以下三个性质：
- 自反性：对于任意x ∈ A，有(x, x) ∈ R；
- 对称性：若(x, y) ∈ R，则(y, x) ∈ R；
- 传递性：若(x, y) ∈ R且(y, z) ∈ R，则(x, z) ∈ R。
题目2：写出命题“如果下雨，那么地会湿”的逆否命题。
答案：
“如果地没有湿，那么没有下雨。”
题目3：什么是欧拉图？请举例说明。
答案：
欧拉图是指存在一条经过每条边一次且仅一次的回路的图。例如，一个环状结构的图即为欧拉图。
题目4：证明：若f是单射且g是单射，则f∘g也是单射。
答案：
设f: A→B，g: B→C，均为单射。假设f(g(x)) = f(g(y))，由f单射可得g(x) = g(y)，再由g单射可得x = y，因此f∘g是单射。
4. 证明题（每题10分，共20分）
题目1：证明：在简单图中，度数为奇数的顶点个数必为偶数。
答案：
根据图论中的握手定理，所有顶点的度数之和等于边数的两倍，因此总和为偶数。若存在奇数个奇数度顶点，则其总和为奇数，矛盾。故奇数度顶点个数必为偶数。
题目2：用逻辑等价变换证明：(p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r。
答案：
(p → q) ∧ (q → r) ≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)
使用分配律：
≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)
= [¬p ∧ (¬q ∨ r)] ∨ [q ∧ (¬q ∨ r)
= [¬p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ r] ∨ [q ∧ ¬q ∨ q ∧ r
= [¬p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ r] ∨ [0 ∨ q ∧ r
= ¬p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ r ∨ q ∧ r
进一步化简可得：¬p ∨ r，即 p → r。
三、总结
本次《离散数学》期末考试重点考查了学生的逻辑推理能力、集合与关系的理解、图论基本概念以及函数的性质。通过系统复习与练习，学生可以更好地掌握这些基础理论，并在实际问题中灵活应用。
建议同学们在学习过程中注重概念之间的联系，多做习题，提升综合分析与证明能力。
