【列联表公式】在统计学中，列联表（Contingency Table）是一种用于展示两个或多个分类变量之间关系的表格形式。它常用于卡方检验（Chi-square Test）等分析方法中，帮助研究者判断不同类别变量之间是否存在显著的关联性。
列联表的基本结构是将数据按照两个或多个分类变量进行交叉分组，并记录每个组合下的频数。通过列联表，可以直观地看出各变量之间的分布情况，进而进行进一步的统计分析。
一、列联表的基本结构
一个简单的列联表通常由行和列组成，每一格代表某一行与某一列的交叉点，即该组合下的观察频数（Observed Frequency）。例如，以下是一个2×2的列联表：
| 变量B1 | 变量B2 | 合计 | |
| 变量A1 | a | b | a+b |
| 变量A2 | c | d | c+d |
| 合计 | a+c | b+d | N |
其中：
- a、b、c、d 为观察频数；
- N = a + b + c + d 为总样本数。
二、列联表的计算公式
1. 期望频数（Expected Frequency）
在卡方检验中，期望频数表示如果变量之间没有关联时，每个单元格应出现的频数。其计算公式如下：
$$
E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N}
$$
其中：
- $ E_{ij} $ 表示第i行第j列的期望频数；
- $ R_i $ 是第i行的合计；
- $ C_j $ 是第j列的合计；
- $ N $ 是总样本数。
2. 卡方统计量（Chi-square Statistic）
卡方统计量用于衡量观察频数与期望频数之间的差异程度，其计算公式为：
$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$
其中：
- $ O_{ij} $ 是第i行第j列的观察频数；
- $ E_{ij} $ 是第i行第j列的期望频数；
- r 是行数，c 是列数。
3. 自由度（Degrees of Freedom）
卡方检验的自由度计算公式为：
$$
df = (r - 1)(c - 1)
$$
其中：
- r 是行数；
- c 是列数。
三、列联表的应用场景
列联表广泛应用于社会科学研究、市场调研、医学研究等领域，常见的应用包括：
| 应用场景 | 说明 |
| 调查问卷分析 | 分析不同人群对某个问题的态度分布 |
| 市场细分 | 研究不同消费者群体的购买行为 |
| 医疗研究 | 探讨某种治疗方式与疗效之间的关系 |
| 教育评估 | 分析不同教育背景学生的成绩分布 |
四、列联表总结表
| 概念 | 公式/说明 |
| 观察频数 | $ O_{ij} $：实际观测到的频数 |
| 期望频数 | $ E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N} $ |
| 卡方统计量 | $ \chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} $ |
| 自由度 | $ df = (r - 1)(c - 1) $ |
| 列联表结构 | 行 × 列，如 2×2、3×3 等 |
通过列联表及其相关公式，我们可以系统地分析分类变量之间的关系，为后续的统计推断提供基础数据支持。理解并掌握这些公式，有助于提高数据分析的准确性和科学性。
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