【xsinx积分】在微积分的学习中，求函数 $ x \sin x $ 的积分是一个常见的问题。由于该函数是多项式与三角函数的乘积形式，通常需要使用分部积分法（Integration by Parts）来求解。本文将对 $ \int x \sin x \, dx $ 进行详细分析，并以表格形式总结关键步骤和结果。
一、积分方法概述
对于 $ \int x \sin x \, dx $，我们可以使用分部积分法，其公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 是关键。一般情况下，我们选择 $ u = x $，因为它的导数会简化，而 $ dv = \sin x \, dx $，因为其积分是已知的。
二、分步计算过程
| 步骤 | 内容 | 解释 |
| 1 | 设 $ u = x $，$ dv = \sin x \, dx $ | 分部积分法的初始设定 |
| 2 | 计算 $ du = dx $，$ v = -\cos x $ | 对 $ dv $ 积分得到 $ v $ |
| 3 | 代入公式：$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx $ | 应用分部积分公式 |
| 4 | 计算 $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | 基本积分公式 |
| 5 | 最终结果：$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C $ | 合并项并加上常数 |
三、最终答案总结
| 积分表达式 | 结果 |
| $ \int x \sin x \, dx $ | $ -x \cos x + \sin x + C $ |
其中，$ C $ 是积分常数。
四、注意事项
- 在实际应用中，若为定积分，则需代入上下限进行计算。
- 若题目要求不带常数项，可直接写成 $ -x \cos x + \sin x $。
- 分部积分法适用于类似 $ x \sin x $、$ x e^x $ 等形式的函数。
通过上述步骤，我们可以清晰地理解如何求解 $ x \sin x $ 的积分，并掌握分部积分法的基本应用。希望这份总结能帮助你在学习过程中更加高效地掌握相关知识。
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