【期望和方差计算公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这两个概念及其计算公式，对于理解数据分布、进行统计分析具有重要意义。
一、期望（Expected Value）
期望是对随机变量在未来可能取值的加权平均，权重为对应的概率。它表示在大量重复实验中，随机变量的平均结果。
1. 离散型随机变量的期望
设离散型随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差用于衡量随机变量与其期望之间的差异程度，数值越大，说明数据越分散；数值越小，说明数据越集中。
1. 方差的定义
方差是随机变量与其期望的平方差的期望，即：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以展开为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、总结表格
| 指标 | 定义 | 公式 | 类型 |
| 期望 | 随机变量的平均值 | $ E(X) = \sum x_i p_i $ 或 $ E(X) = \int x f(x) dx $ | 离散 / 连续 |
| 方差 | 随机变量与其期望的偏离程度 | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 离散 / 连续 |
四、应用举例
假设有一个离散型随机变量 $ X $，其分布如下：
| $ x_i $ | 1 | 2 | 3 |
| $ p_i $ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
则：
- 期望：$ E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 2.1 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3 = 0.49 $
通过上述内容可以看出，期望和方差是统计分析中不可或缺的工具，它们帮助我们更好地理解数据的中心趋势和波动性。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的计算方式，从而得出更准确的结论。
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