【全概率公式推导过程】在概率论中，全概率公式是一个重要的工具，用于计算一个复杂事件的概率，当这个事件可以被分解为若干个互斥且穷尽的子事件时。全概率公式的核心思想是：将一个大事件的概率拆解成多个小事件的概率之和，从而简化计算。

一、基本概念

1. 样本空间（Ω）：所有可能结果的集合。

2. 事件（A）：样本空间的一个子集。

3. 互斥事件：两个或多个事件不能同时发生。

4. 穷尽事件：一组事件覆盖了整个样本空间，即它们的并集等于样本空间。

5. 条件概率：P(AB) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

二、全概率公式的定义

设 {B₁, B₂, ..., Bₙ} 是一个互斥且穷尽的事件组，即：

- Bᵢ ∩ Bⱼ = ∅ （i ≠ j）

- B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ Bₙ = Ω

对于任意事件 A，全概率公式表示为：

$$

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(AB_i)

$$

三、推导过程

假设我们有一个事件 A 和一组互斥且穷尽的事件 {B₁, B₂, ..., Bₙ}。由于这些事件是互斥且穷尽的，我们可以将事件 A 拆分成与每个 Bᵢ 的交集：

$$

A = A \cap \Omega = A \cap (B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n)

$$

根据集合的分配律：

$$

A = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \cdots \cup (A \cap B_n)

$$

由于 {B₁, B₂, ..., Bₙ} 是互斥的，因此 {A ∩ B₁, A ∩ B₂, ..., A ∩ Bₙ} 也是互斥的。因此，可以应用概率的加法法则：

$$

P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \cdots + P(A \cap B_n)

$$

再根据条件概率的定义：

$$

P(A \cap B_i) = P(B_i) \cdot P(AB_i)

$$

代入上式得：

$$

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(AB_i)

$$

这就是全概率公式的完整推导过程。

四、总结表格

五、应用举例

假设某地区有三种天气：晴天、雨天、多云。已知：

- P(晴天) = 0.5

- P(雨天) = 0.3

- P(多云) = 0.2

又已知下雨的概率分别为：

- P(下雨晴天) = 0.1

- P(下雨雨天) = 0.8

- P(下雨多云) = 0.4

则下雨的总概率为：

$$

P(下雨) = 0.5 \times 0.1 + 0.3 \times 0.8 + 0.2 \times 0.4 = 0.05 + 0.24 + 0.08 = 0.37

$$

通过上述推导和例子可以看出，全概率公式在实际问题中具有广泛的适用性，尤其在处理条件概率和分情况讨论时非常有用。

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