【数学期望的计算公式】数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势。它反映了随机变量的“中心位置”，是统计分析和决策理论中的基础工具。数学期望的计算方法根据随机变量的类型（离散型或连续型）有所不同。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），记作 $ E(X) $ 或 $ \mu $，表示对随机变量 $ X $ 在所有可能取值上的加权平均，权重为相应的概率。
二、数学期望的计算公式
1. 离散型随机变量的数学期望
若随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的数学期望
若随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见的概率分布及其对应的数学期望：
| 分布名称 | 随机变量 $ X $ 的取值范围 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | 0 或 1 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $ | $ p $ |
| 二项分布 | 0, 1, ..., n | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | 0, 1, 2, ... | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | [a, b] | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | (-∞, +∞) | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | [0, +∞) | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、数学期望的性质
1. 线性性：
对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 期望的加法性：
若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量的乘积期望：
若 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
五、总结
数学期望是衡量随机变量长期平均结果的重要指标，广泛应用于金融、工程、统计学等领域。掌握不同分布下的期望公式，有助于更准确地进行数据分析与预测。通过理解其基本定义与性质，可以更好地运用这一工具解决实际问题。
以上就是【数学期望的计算公式】相关内容，希望对您有所帮助。
