【向量积公式是什么】在向量运算中，向量积（也称为叉积或外积）是一种重要的数学工具，常用于三维空间中计算两个向量之间的垂直向量。向量积不仅具有几何意义，还在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用。
一、向量积的基本概念
向量积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个与这两个向量都垂直的向量。向量积的结果方向由右手定则决定，其大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其结果是一个新的向量 c = (c₁, c₂, c₃)。
二、向量积的公式
向量积的计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 与标量相乘 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ |
| 零向量 | 若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
四、向量积的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 物理学 | 计算力矩、磁力等矢量量 |
| 工程力学 | 分析结构受力情况 |
| 计算机图形学 | 计算法向量、光照效果等 |
| 三维几何 | 判断两向量是否垂直或求平面法向量 |
五、总结
向量积是向量代数中的一个重要概念，广泛应用于多个科学和工程领域。它的计算方式可以通过行列式形式直接得出，同时具备许多重要的代数性质。理解并掌握向量积的公式及其应用，有助于更好地解决实际问题。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 向量积是两个向量的乘积，结果是一个与原向量垂直的新向量 |
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ |
| 方向 | 由右手定则确定 |
| 大小 | 等于两个向量构成的平行四边形的面积 |
| 应用 | 力矩、法向量、图形学、物理等 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解“向量积公式是什么”，并在实际应用中灵活使用这一数学工具。
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