【面面垂直的判定】在立体几何中，两个平面之间的位置关系有多种，其中“面面垂直”是一种重要的关系。判断两个平面是否垂直，是学习立体几何的重要内容之一。本文将对“面面垂直的判定”进行总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。
一、面面垂直的定义
当两个平面相交于一条直线，且它们所形成的二面角为直角（90°）时，这两个平面称为互相垂直，简称面面垂直。
二、面面垂直的判定方法
判断两个平面是否垂直，通常有以下几种方法：
| 判定方法 | 具体说明 |
| 1. 定义法 | 若两个平面相交于一条直线，且该交线与其中一个平面内的某条直线垂直，则这两个平面垂直。 |
| 2. 法向量法 | 设两个平面的法向量分别为 $\vec{n_1}$ 和 $\vec{n_2}$，若 $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$，则两平面垂直。 |
| 3. 线面垂直法 | 若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。 |
| 4. 垂直于同一直线的两平面 | 如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面也互相垂直。 |
三、典型例题分析
例题1：
已知平面α和β，若平面α内有一条直线l垂直于平面β，则平面α与平面β的关系是什么？
解析：
根据“线面垂直法”，若平面α内存在一条直线l垂直于平面β，则平面α与平面β垂直。
答案： 面面垂直。
例题2：
已知平面α的法向量为$\vec{n_1} = (1, 2, 3)$，平面β的法向量为$\vec{n_2} = (-2, 1, 0)$，判断两平面是否垂直。
解析：
计算法向量的点积：
$$
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \times (-2) + 2 \times 1 + 3 \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0
$$
因为点积为0，所以两平面垂直。
答案： 面面垂直。
四、总结
面面垂直的判定是立体几何中的重要内容，掌握其判定方法有助于解决相关的几何问题。常见的判定方式包括定义法、法向量法、线面垂直法等。通过实际例题练习，可以进一步加深对这一概念的理解。
| 判定方法 | 应用场景 | 是否常用 |
| 定义法 | 直观判断 | 中等 |
| 法向量法 | 数学计算 | 高频 |
| 线面垂直法 | 几何推理 | 中等 |
| 垂直于同一直线 | 特殊情况 | 较少 |
如需进一步探讨具体题目或应用实例，可继续提问。
