【向量积的代数表示怎么计算】在三维空间中，向量积（也称为叉积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个与原向量垂直的新向量。向量积不仅在数学中有广泛应用，在物理、工程等领域也经常被使用。本文将总结向量积的代数表示及其计算方法，并通过表格形式直观展示。

一、向量积的基本概念

向量积（Cross Product）是两个向量 a 和 b 的一种乘积形式，记作 a × b。其结果是一个新的向量，该向量的方向由右手定则决定，大小等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即：

$$

$$

其中 θ 是两向量之间的夹角。

二、向量积的代数表示

设两个向量分别为：

$$

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)

$$

它们的向量积 a × b 可以用以下公式计算：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、向量积的代数计算步骤

1. 将两个向量分别写出其分量；

2. 按照上述公式逐项计算每个分量；

3. 组合得到最终的向量积结果。

四、示例计算

假设：

$$

\mathbf{a} = (1, 2, 3), \quad \mathbf{b} = (4, 5, 6)

$$

根据公式：

- 第一个分量：$ a_2b_3 - a_3b_2 = 2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3 $

- 第二个分量：$ a_3b_1 - a_1b_3 = 3×4 - 1×6 = 12 - 6 = 6 $（注意符号）

- 第三个分量：$ a_1b_2 - a_2b_1 = 1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3 $

所以：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)

$$

五、向量积的代数表示总结表

六、注意事项

- 向量积的结果是一个向量，而不是标量；

- 向量积不满足交换律，即 a × b ≠ b × a，而是 a × b = - (b × a)；

- 如果两个向量共线，则它们的向量积为零向量；

- 向量积的方向垂直于原两向量所在的平面。

通过以上内容，我们可以清晰地了解向量积的代数表示及其计算方法。在实际应用中，掌握这一方法有助于解决空间几何、力学等问题。

以上就是【向量积的代数表示怎么计算】相关内容，希望对您有所帮助。