【向量外积怎么求】向量外积，也称为叉积或矢积，是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中计算两个向量的垂直方向。外积的结果是一个向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
以下是对向量外积的基本概念和计算方法的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本概念
| 概念 | 说明 | ||||||
| 向量外积 | 两个向量的外积结果是一个新的向量，与原两向量垂直 | ||||||
| 方向 | 由右手定则确定：拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，中指方向即为外积方向 | ||||||
| 大小 | 等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即 $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta $ |
二、外积的计算方式
1. 代数公式（三维向量）
设两个向量分别为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
则它们的外积为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以表示为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
2. 表格形式展示
| 向量 | x 分量 | y 分量 | z 分量 |
| $\vec{a}$ | $a_1$ | $a_2$ | $a_3$ |
| $\vec{b}$ | $b_1$ | $b_2$ | $b_3$ |
外积结果：
| x 分量 | y 分量 | z 分量 |
| $a_2b_3 - a_3b_2$ | $a_3b_1 - a_1b_3$ | $a_1b_2 - a_2b_1$ |
三、外积的性质
| 性质 | 说明 |
| 反交换律 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 零向量 | 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ |
| 正交性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 均垂直 |
四、应用举例
假设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求 $\vec{a} \times \vec{b}$：
| 计算步骤 | 结果 |
| x 分量 | $2 \times 6 - 3 \times 5 = 12 - 15 = -3$ |
| y 分量 | $3 \times 4 - 1 \times 6 = 12 - 6 = 6$ |
| z 分量 | $1 \times 5 - 2 \times 4 = 5 - 8 = -3$ |
所以，$\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)$
五、总结
向量外积是向量运算中的一个重要工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。通过掌握其定义、计算公式及性质，可以更灵活地处理涉及方向和面积的问题。理解并熟练运用外积，有助于提升对三维空间问题的分析能力。
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