【求极限lim的常用公式】在数学分析中，求极限是微积分中的一个基础且重要的内容。掌握一些常用的极限公式，能够帮助我们更高效地解决各类极限问题。以下是一些常见的极限公式及其适用条件和示例，便于理解和应用。
一、基本极限公式
| 公式 | 条件 | 示例 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | $c$ 为常数 | $\lim_{x \to 3} 5 = 5$ |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | - | $\lim_{x \to 2} x = 2$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | $x \to 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | $x \to 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | $x \to 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2$ |
二、无穷小量与无穷大量比较
| 公式 | 条件 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | $x \to 0$ | $\tan x$ 与 $x$ 是等价无穷小 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | $x \to 0$ | $\cos x$ 与 $1 - \frac{x^2}{2}$ 等价 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | $x \to \infty$ | 对数增长远慢于线性增长 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ | $n$ 为正整数 | 指数增长远快于多项式增长 |
三、夹逼定理相关公式
| 公式 | 条件 | 示例 |
| 若 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ 且 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} g(x) = L$ | - | 用于证明 $\lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$ |
四、泰勒展开与近似公式（适用于极限计算）
| 公式 | 条件 | 应用场景 |
| $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ | $x \to 0$ | 用于简化指数函数的极限 |
| $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | $x \to 0$ | 用于三角函数的极限计算 |
| $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots$ | $x \to 0$ | 用于余弦函数的极限计算 |
五、常见极限类型总结
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 0/0 型 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ | 可使用洛必达法则或泰勒展开 |
| ∞/∞ 型 | $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ | 通常可比较增长速度 |
| 1^∞ 型 | $\lim_{x \to a} (1 + f(x))^{g(x)}$ | 可转化为 $e^{\lim_{x \to a} f(x)g(x)}$ |
| 0·∞ 型 | $\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ | 转化为 0/0 或 ∞/∞ 形式处理 |
六、注意事项
- 在使用极限公式时，必须注意变量的趋近方向和定义域；
- 对于复杂表达式，可尝试分解、因式分解或利用等价无穷小替换；
- 避免直接代入导致未定义或不确定形式，如 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$ 等；
- 多练习不同类型的极限题，有助于熟悉各种公式和技巧。
通过熟练掌握这些常用极限公式，可以大大提升解题效率和准确性。希望本文能为你的学习提供参考和帮助。
