【方阵的行列式计算公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述一个方阵的某些特性，如矩阵是否可逆、面积或体积的变化比例等。对于不同阶数的方阵，行列式的计算方式也有所不同。以下是对常见方阵行列式计算公式的总结。
一、行列式的基本定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其行列式记作 $ \det(A) $ 或 $
二、常用方阵的行列式计算公式
| 方阵阶数 | 行列式计算公式 | 说明 | ||
| 1×1 | $ | a | = a $ | 单个元素的绝对值即为行列式 |
| 2×2 | $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $ | 对角线相乘再相减 | ||
| 3×3 | $ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $ | 按第一行展开，使用余子式计算 | ||
| 4×4及以上 | 通常采用拉普拉斯展开或三角化方法 | 通过递归展开或将矩阵转化为上三角形式后，主对角线元素相乘 |
三、行列式的性质（简要总结）
1. 行列式与转置：$ \det(A^T) = \det(A) $
2. 交换两行（列）：行列式变号
3. 某一行（列）乘以常数：行列式乘以该常数
4. 两行（列）相同：行列式为零
5. 行列式为零：矩阵不可逆
四、行列式的实际应用
- 判断矩阵是否可逆：若 $ \det(A) \neq 0 $，则矩阵可逆。
- 解线性方程组：克莱姆法则利用行列式求解。
- 计算几何中面积和体积的变化。
五、小结
行列式是衡量方阵“体积缩放”能力的重要工具，不同阶数的方阵有不同的计算方法。掌握基本公式和性质有助于更深入理解线性代数的核心内容，并在实际问题中灵活运用。
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