【16个极限公式】在数学分析中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，尤其在微积分和高等数学中占据核心地位。掌握常见的极限公式，有助于快速求解复杂问题。以下总结了16个常用的极限公式，涵盖基本初等函数、三角函数、指数函数、对数函数以及一些特殊形式的极限。
一、基本极限公式
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量的极限为其趋近值 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数重要极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ | 与正弦类似，余弦的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的基本极限 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的基本极限 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 正切函数的极限 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 余弦函数的高阶极限 |
| 9 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数 $e$ 的定义 |
| 10 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
| 11 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ | 反正切函数的极限 |
三、多项式与有理函数的极限
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 12 | $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0} = \begin{cases} 0, & n < m \\ \frac{a_n}{b_m}, & n = m \\ \infty, & n > m \end{cases}$ | 多项式比的极限 |
| 13 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[n]{x}}{x} = 0$ | 根号函数趋于无穷时的极限 |
| 14 | $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ | 分母为零时的极限 |
| 15 | $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ | 与 $\frac{\sin x}{x}$ 相关的倒数形式 |
四、其他常见极限
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 16 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$ | 二项式展开的极限形式 |
总结
以上16个极限公式是数学分析中的基础内容，广泛应用于微分、积分、级数等领域。理解并熟练运用这些公式，不仅有助于提高解题效率，也能加深对函数性质的理解。在实际应用中，结合洛必达法则、泰勒展开等方法，可以进一步解决更复杂的极限问题。
