在数字信号处理和控制系统领域，Z变换是一种极为重要的数学工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域中进行分析。通过Z变换，我们可以更方便地研究系统的稳定性、频率响应以及设计滤波器等。为了帮助大家更好地理解和应用这一工具，下面整理了一份实用的Z变换公式表。

常见信号及其Z变换

| 序号 | 信号序列| Z变换表达式 |

|------|-----------------------------------|---------------------------------|

| 1| δ[n]| 1 |

| 2| u[n]| \(\frac{z}{z - 1}\) |

| 3| \(a^n u[n]\) | \(\frac{z}{z - a}\), \(|z| > |a|\) |

| 4| \(n u[n]\) | \(\frac{z}{(z - 1)^2}\), \(|z| > 1\) |

| 5| \(a^n n u[n]\) | \(\frac{az}{(z - a)^2}\), \(|z| > |a|\) |

| 6| \((-a)^n u[n]\)| \(\frac{z}{z + a}\), \(|z| > |a|\) |

| 7| \(n^2 u[n]\) | \(\frac{z(z + 1)}{(z - 1)^3}\), \(|z| > 1\) |

基本性质与定理

1. 线性性质：若\(x_1[n]\)和\(x_2[n]\)的Z变换分别为\(X_1(z)\)和\(X_2(z)\)，则\(a x_1[n] + b x_2[n]\)的Z变换为\(a X_1(z) + b X_2(z)\)。

2. 移位性质：若\(x[n]\)的Z变换为\(X(z)\)，则\(x[n-k]\)的Z变换为\(z^{-k} X(z)\)。

3. 卷积定理：若\(x_1[n]\)和\(x_2[n]\)的Z变换分别为\(X_1(z)\)和\(X_2(z)\)，则它们的卷积\(y[n] = x_1[n] x_2[n]\)的Z变换为\(Y(z) = X_1(z) X_2(z)\)。

应用示例

假设我们有一个简单的离散系统，其输入信号为\(x[n] = 2^n u[n]\)，输出信号为\(y[n] = x[n-1]\)。利用Z变换和移位性质，可以快速求解输出信号的Z变换为\(Y(z) = z^{-1} \cdot \frac{z}{z - 2}\)，即\(\frac{1}{z - 2}\)，且收敛域为\(|z| > 2\)。

希望这份简明扼要的Z变换公式表能为大家的学习和工作提供便利。如果有更多复杂问题需要解决，欢迎进一步探讨！