在物理学中，机械能守恒定律是一个非常重要的概念，它描述了在一个系统内，如果没有外力或非保守力做功的情况下，系统的总机械能（动能与势能之和）保持不变。这一原理广泛应用于解决各种物理问题，尤其是在涉及能量转换和守恒的问题时。

一、自由落体运动中的机械能守恒

例题1：

一个质量为 \( m \) 的物体从高度 \( h_1 \) 自由下落到高度 \( h_2 \)，忽略空气阻力。求物体到达高度 \( h_2 \) 时的速度 \( v \)。

解析：

根据机械能守恒定律，物体在初始状态和最终状态的机械能相等。

初始状态的机械能为重力势能：

\[ E_{\text{初}} = m g h_1 \]

最终状态的机械能为动能和重力势能之和：

\[ E_{\text{末}} = \frac{1}{2} m v^2 + m g h_2 \]

根据机械能守恒：

\[ E_{\text{初}} = E_{\text{末}} \]

代入公式得：

\[ m g h_1 = \frac{1}{2} m v^2 + m g h_2 \]

化简后得到速度 \( v \) 的表达式：

\[ v = \sqrt{2 g (h_1 - h_2)} \]

二、弹簧振子的机械能守恒

例题2：

一个质量为 \( m \) 的物体挂在轻质弹簧上，在弹性限度内振动。已知弹簧劲度系数为 \( k \)，最大伸长量为 \( A \)。求物体经过平衡位置时的速度 \( v \)。

解析：

在弹簧振子系统中，机械能守恒意味着系统的总机械能包括弹性势能和动能。

初始状态时，物体位于最高点，仅有弹性势能：

\[ E_{\text{初}} = \frac{1}{2} k A^2 \]

当物体经过平衡位置时，弹性势能完全转化为动能：

\[ E_{\text{末}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

根据机械能守恒：

\[ E_{\text{初}} = E_{\text{末}} \]

代入公式得：

\[ \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v^2 \]

化简后得到速度 \( v \) 的表达式：

\[ v = \sqrt{\frac{k}{m}} A \]

三、斜面滑块的机械能守恒

例题3：

一个质量为 \( m \) 的滑块从倾角为 \( \theta \) 的光滑斜面上滑下，初始高度为 \( h \)。求滑块到达斜面底端时的速度 \( v \)。

解析：

在光滑斜面上，滑块仅受重力作用，无摩擦力做功，因此机械能守恒。

初始状态的机械能为重力势能：

\[ E_{\text{初}} = m g h \]

最终状态的机械能为动能：

\[ E_{\text{末}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

根据机械能守恒：

\[ E_{\text{初}} = E_{\text{末}} \]

代入公式得：

\[ m g h = \frac{1}{2} m v^2 \]

化简后得到速度 \( v \) 的表达式：

\[ v = \sqrt{2 g h} \]

通过以上三个典型例题，我们可以看到机械能守恒定律在不同场景下的应用。无论是自由落体、弹簧振子还是斜面滑块，只要满足机械能守恒的条件，都可以利用这一原理来解决问题。希望这些例题能够帮助你更好地理解和掌握机械能守恒定律的核心思想！