在投资与赌博领域中，凯利公式（Kelly Criterion）是一个非常重要的概念。它提供了一种科学的方法来确定在每次下注或投资时应该投入多少资金，以最大化长期收益并避免破产的风险。本文将详细介绍凯利公式的推导过程。
背景与假设
假设我们参与一个简单的赌局，其中存在两种可能的结果：赢或输。设：
- \( p \) 为赢得赌局的概率；
- \( q = 1 - p \) 为输掉赌局的概率；
- \( b \) 为每单位赌注的赔率（即如果赢了可以获得的金额是赌注的 \( b \) 倍）。
我们的目标是找到一个最优的资金分配策略，使得长期资本增长率达到最大。
长期增长率公式
根据概率论和信息论的基本原理，长期资本增长率 \( G \) 可表示为：
\[
G = p \cdot \log(1 + x \cdot b) + q \cdot \log(1 - x)
\]
其中：
- \( x \) 是每次下注所占资金的比例；
- \( \log \) 表示自然对数。
为了使长期增长率 \( G \) 最大化，我们需要对 \( x \) 求导，并令其等于零。
求导与优化
首先对 \( G \) 关于 \( x \) 求导：
\[
\frac{dG}{dx} = p \cdot \frac{b}{1 + x \cdot b} - q \cdot \frac{1}{1 - x}
\]
令 \( \frac{dG}{dx} = 0 \)，得到：
\[
p \cdot \frac{b}{1 + x \cdot b} = q \cdot \frac{1}{1 - x}
\]
进一步整理方程：
\[
\frac{pb}{1 + xb} = \frac{q}{1 - x}
\]
交叉相乘后得：
\[
pb(1 - x) = q(1 + xb)
\]
展开并整理：
\[
pb - pbx = q + qxb
\]
将所有含 \( x \) 的项移到一边：
\[
pb - q = pbx + qxb
\]
提取公因式 \( x \)：
\[
pb - q = x(pb + qb)
\]
解出 \( x \)：
\[
x = \frac{pb - q}{pb + qb}
\]
利用 \( q = 1 - p \)，代入简化：
\[
x = \frac{p(b+1) - 1}{b+1}
\]
这就是著名的凯利公式。
结论
凯利公式给出了在给定赔率 \( b \) 和胜率 \( p \) 下，每次下注应分配资金比例的最佳值 \( x \)。通过应用此公式，投资者可以有效管理风险，实现长期资本的最大化增长。
希望本文对你理解凯利公式的推导有所帮助！
