练习 绝对值

在数学的学习过程中，绝对值是一个基础而重要的概念。它不仅在代数中频繁出现，而且在几何学和实际问题解决中也扮演着关键角色。本文旨在通过一系列练习题帮助读者更好地理解和掌握绝对值的概念及其应用。

什么是绝对值？

绝对值表示一个数到零的距离，因此总是非负的。对于任意实数 \( x \)，其绝对值记作 \( |x| \)，定义如下：

- 如果 \( x \geq 0 \)，则 \( |x| = x \)；

- 如果 \( x < 0 \)，则 \( |x| = -x \)。

简单来说，绝对值就是去掉数字前面的符号后的值。

基础练习

练习 1：计算绝对值

计算下列各数的绝对值：

1. \( |-7| \)

2. \( |4| \)

3. \( |0| \)

解答：

1. \( |-7| = 7 \)

2. \( |4| = 4 \)

3. \( |0| = 0 \)

练习 2：绝对值的性质

验证以下性质是否成立：

1. \( |a| \geq 0 \) 对所有实数 \( a \) 成立。

2. \( |ab| = |a||b| \) 对所有实数 \( a, b \) 成立。

解答：

1. 显然成立，因为绝对值总是非负的。

2. 通过定义验证，假设 \( a \geq 0 \) 且 \( b \geq 0 \)，则 \( |ab| = ab = |a||b| \)；其他情况类似可证。

进阶练习

练习 3：解方程

解方程 \( |x - 3| = 5 \)。

解答：

根据绝对值的定义，\( |x - 3| = 5 \) 意味着 \( x - 3 = 5 \) 或 \( x - 3 = -5 \)。解得 \( x = 8 \) 或 \( x = -2 \)。

练习 4：不等式

求解不等式 \( |2x + 1| < 7 \)。

解答：

将不等式拆分为两部分：

1. \( 2x + 1 < 7 \)

2. \( 2x + 1 > -7 \)

分别解得 \( x < 3 \) 和 \( x > -4 \)。结合两者，解集为 \( -4 < x < 3 \)。

实际应用

绝对值在日常生活中的应用非常广泛。例如，在物理学中，位移的大小可以用位置变化的绝对值来表示；在经济学中，利润或亏损的幅度也可以用绝对值来衡量。

通过上述练习，希望读者能够更加熟练地运用绝对值的概念。记住，理解绝对值的关键在于把握其几何意义——即距离的概念。继续多做练习，你会发现绝对值的魅力所在！

这篇文章围绕“练习 绝对值”展开，提供了从基础到进阶的练习题，并结合了实际应用场景，确保内容丰富且实用。希望对你有所帮助！