在数学学习中，一元二次不等式的解法是一个重要的知识点。它不仅涉及到代数的基本运算，还需要结合函数图像和性质来分析问题。本文将通过几个典型的例子，帮助大家更好地理解和掌握一元二次不等式的解题技巧。

例题1：求解不等式 \(x^2 - 5x + 6 > 0\)

首先，我们需要找到该不等式对应的方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的根。通过因式分解或求根公式，我们可以得到：

\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\]

因此，方程的两个根分别为 \(x_1 = 2\) 和 \(x_2 = 3\)。根据一元二次不等式的解法，我们可以通过数轴法确定解集。将数轴分为三个区间：\(x < 2\)，\(2 < x < 3\)，以及 \(x > 3\)。分别测试每个区间的值，可以发现当 \(x < 2\) 或 \(x > 3\) 时，不等式成立。因此，解集为：

\[

x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)

\]

例题2：求解不等式 \(x^2 + 4x + 4 \leq 0\)

这个不等式对应的方程是 \(x^2 + 4x + 4 = 0\)，其判别式为：

\[

\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

\]

由于判别式为零，说明该方程有两个相等的实根。利用求根公式可得：

\[

x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2

\]

因此，方程的根为 \(x = -2\)。因为不等式是小于等于零的形式，所以解集为单点：

\[

x = -2

\]

例题3：求解不等式 \(2x^2 - 3x - 2 < 0\)

首先，我们找到对应方程 \(2x^2 - 3x - 2 = 0\) 的根。使用求根公式：

\[

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \text{其中 } \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25

\]

计算得到：

\[

x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}

\]

因此，方程的两根为 \(x_1 = 2\) 和 \(x_2 = -\frac{1}{2}\)。根据数轴法，不等式的解集为：

\[

x \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)

\]

总结

通过以上三个例子可以看出，一元二次不等式的解法主要依赖于对方程的根的判断和对解集的合理划分。无论是判别式大于零、等于零还是小于零的情况，都需要灵活运用数轴法或其他方法来准确得出解集。希望这些例子能为大家提供一些启发和帮助。