在数学的学习过程中，微分是高等数学中非常重要的一个部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握常用的微分公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将为大家整理一份全面的微分公式大全，帮助大家在学习或工作中快速查阅和应用。

一、基本导数公式

1. 常数函数

$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $，其中 $ C $ 为常数。

2. 幂函数

$ \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} $，其中 $ n $ 为任意实数。

3. 指数函数

- $ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $

- $ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $

4. 对数函数

- $ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $

- $ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $

5. 三角函数

- $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $

- $ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $

- $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $

- $ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x $

- $ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x $

- $ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x $

6. 反三角函数

- $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $

- $ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $

- $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $

二、导数的运算法则

1. 和差法则

$ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $

2. 乘积法则

$ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $

3. 商法则

$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $

4. 链式法则（复合函数求导）

若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则

$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $

三、高阶导数与隐函数求导

1. 高阶导数

二阶导数：$ f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2} $

三阶导数：$ f'''(x) = \frac{d^3 f}{dx^3} $

以此类推。

2. 隐函数求导

若 $ F(x, y) = 0 $，则

$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} $

四、参数方程与极坐标下的导数

1. 参数方程求导

若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则

$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $

2. 极坐标求导

若 $ r = r(\theta) $，则

$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta} $

五、微分形式与微分近似

1. 微分定义

$ dy = f'(x) dx $

2. 微分近似

$ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x $

六、常见函数的微分表

| 函数 | 微分 |

|------|------|

| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |

| $ e^x $ | $ e^x $ |

| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |

| $ \sin x $ | $ \cos x $ |

| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |

| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |

| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |

结语

微分是研究函数变化率的重要工具，掌握其基本公式和运算规则，对于进一步学习积分、微分方程等内容具有重要意义。希望本文提供的“微分公式大全”能够成为你学习过程中的得力助手。如需更深入的应用实例或题目解析，欢迎继续关注相关资料。