【二次函数习题及答案】在初中数学中，二次函数是一个重要的知识点，它不仅在考试中频繁出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。掌握二次函数的相关知识，对于提高数学成绩和理解函数的变化规律具有重要意义。
本文将围绕二次函数的基本概念、图像性质以及相关的练习题进行讲解，并附上详细解答，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、什么是二次函数？
一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，$ x $ 是自变量，$ y $ 是因变量。
- a 决定开口方向：当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；当 $ a < 0 $ 时，开口向下。
- 顶点坐标公式：顶点为 $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $
- 对称轴：直线 $ x = -\frac{b}{2a} $
二、常见题型与解析
题目1：
已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求其顶点坐标和对称轴。
解题思路：
根据顶点公式：
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 $$
代入原式求出 $ y $ 值：
$$ y = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $$
所以顶点为 $ (2, -1) $，对称轴为 $ x = 2 $。
题目2：
若二次函数的图象经过点 $ (1, 2) $ 和 $ (-1, 6) $，且顶点为 $ (0, 5) $，求该函数的表达式。
解题思路：
因为顶点为 $ (0, 5) $，所以可以设函数为顶点式：
$$ y = a(x - 0)^2 + 5 = ax^2 + 5 $$
将点 $ (1, 2) $ 代入：
$$ 2 = a(1)^2 + 5 \Rightarrow a = -3 $$
所以函数表达式为：
$$ y = -3x^2 + 5 $$
验证点 $ (-1, 6) $：
$$ y = -3(-1)^2 + 5 = -3 + 5 = 2 \quad \text{不匹配} $$
说明题目条件有误或需要重新分析。
题目3：
已知二次函数 $ y = x^2 + px + q $ 的图象与 x 轴交于两点 $ (1, 0) $ 和 $ (3, 0) $，求 p 和 q 的值。
解题思路：
由根与系数的关系可得：
$$
\begin{cases}
1 + 3 = -p \\
1 \times 3 = q
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
p = -4 \\
q = 3
\end{cases}
$$
因此，函数为：
$$ y = x^2 - 4x + 3 $$
三、总结
二次函数是初中数学的重要内容，涉及图像、顶点、对称轴、根等多个方面。通过多做练习题并结合图像分析，能够加深对二次函数的理解。希望以上习题与解析能帮助大家巩固基础知识，提升解题能力。
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