【整式的乘除-精选习题-解答题】在初中数学中，整式的乘除是代数运算的重要内容之一。它不仅涉及基本的乘法法则、幂的运算，还与因式分解、多项式展开等知识点密切相关。掌握好整式的乘除，有助于提高学生的代数思维能力和计算准确性。以下是一些精选的解答题，帮助学生巩固相关知识。
一、基础运算类题目
1. 计算：
$ (2x^2 - 3x + 5)(x - 4) $
解题思路：
使用多项式乘法法则，即每一项分别相乘后相加。
$$
= 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-4) - 3x \cdot x - 3x \cdot (-4) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-4)
$$
$$
= 2x^3 - 8x^2 - 3x^2 + 12x + 5x - 20
$$
$$
= 2x^3 - 11x^2 + 17x - 20
$$
2. 化简：
$ (a + b)^2 - (a - b)^2 $
解题思路：
利用平方差公式：
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
所以：
$$
(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)
= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2
= 4ab
$$
二、综合应用类题目
3. 已知 $ x + y = 5 $，$ xy = 6 $，求 $ x^3 + y^3 $ 的值。
解题思路：
利用立方和公式：
$$
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)
$$
代入已知条件：
$$
= 5^3 - 3 \times 6 \times 5 = 125 - 90 = 35
$$
4. 若 $ x^2 + 2x + 1 = 0 $，求 $ x^{2023} + x^{2022} + \cdots + x + 1 $ 的值。
解题思路：
首先解方程：
$$
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1
$$
代入表达式：
$$
(-1)^{2023} + (-1)^{2022} + \cdots + (-1) + 1
$$
由于奇次幂为 -1，偶次幂为 1，共有 2024 项（从 0 到 2023）。
其中奇数项有 1012 个（-1），偶数项也有 1012 个（1），因此总和为 0。
三、拓展提升类题目
5. 若 $ a + b + c = 0 $，求 $ a^3 + b^3 + c^3 $ 的值。
解题思路：
根据恒等式：
$$
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
$$
当 $ a + b + c = 0 $ 时，右边为 0，因此：
$$
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
$$
6. 已知 $ x^2 + y^2 = 10 $，$ x + y = 4 $，求 $ x^3 + y^3 $ 的值。
解题思路：
先求 $ xy $：
$$
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 16
\Rightarrow 10 + 2xy = 16 \Rightarrow xy = 3
$$
再用立方和公式：
$$
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 4^3 - 3 \times 3 \times 4 = 64 - 36 = 28
$$
总结：
整式的乘除不仅是基础运算，更是解决复杂代数问题的重要工具。通过多做练习、理解公式的本质，能够有效提升计算能力与逻辑思维水平。希望以上题目能帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
