【什么是夹逼定理】夹逼定理（Squeeze Theorem），又称两边夹定理或夹逼准则，是数学分析中一个重要的极限定理，常用于求解复杂函数的极限问题。该定理的核心思想是：如果一个函数在某个区间内被两个已知极限相同的函数“夹”住，那么这个函数的极限也必然等于这两个函数的极限。
一、夹逼定理的基本内容
定理陈述：
设函数 $ f(x) $、$ g(x) $ 和 $ h(x) $ 满足以下条件：
1. 对于所有接近某一点 $ a $ 的 $ x $（但不包括 $ x = a $），有：
$$
g(x) \leq f(x) \leq h(x)
$$
2. 当 $ x \to a $ 时，$ \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L $
则：
$$
\lim_{x \to a} f(x) = L
$$
二、夹逼定理的应用场景
| 应用场景 | 描述 |
| 极限计算 | 当直接求极限困难时，通过构造上下界函数来确定极限值 |
| 三角函数极限 | 如 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的证明中常用夹逼定理 |
| 数列极限 | 在数列收敛性判断中，常用来比较数列的上界和下界 |
| 函数连续性 | 可用于验证某些函数在特定点的连续性 |
三、夹逼定理的使用步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定目标函数 $ f(x) $ 和其可能的上下界函数 $ g(x) $、$ h(x) $ |
| 2 | 验证在某个邻域内是否满足 $ g(x) \leq f(x) \leq h(x) $ |
| 3 | 计算 $ \lim_{x \to a} g(x) $ 和 $ \lim_{x \to a} h(x) $，若两者相等，则得出结论 |
| 4 | 得出 $ f(x) $ 的极限值为上述共同极限 |
四、示例说明
例题：
求 $ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) $
分析：
由于 $
$$
- x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2
$$
而 $ \lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $，因此由夹逼定理可得：
$$
\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0
$$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 夹逼定理是一种利用上下界函数求极限的方法 |
| 原理 | 若函数被两个极限相同的函数“夹住”，则其极限相同 |
| 适用范围 | 极限计算、数列分析、函数连续性判断等 |
| 使用方法 | 构造上下界函数并验证其极限一致性 |
| 典型应用 | 三角函数极限、数列极限、函数连续性证明 |
通过理解并掌握夹逼定理，可以更灵活地处理一些复杂的极限问题，是数学分析中的重要工具之一。
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