【正弦余弦正切余切九大公式】在三角函数的学习中，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）和余切（cot）是最基础且最重要的四个函数。它们不仅在数学中广泛应用，在物理、工程、计算机科学等领域也扮演着重要角色。为了帮助学习者更好地掌握这些函数的性质与应用，本文总结了“正弦余弦正切余切九大公式”，便于记忆和查阅。
一、基本关系式
1. 倒数关系
- $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $
- $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
2. 平方关系
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
二、诱导公式（角度转换）
3. 周期性
- $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta $
- $ \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta $
- $ \tan(\theta + \pi) = \tan\theta $
- $ \cot(\theta + \pi) = \cot\theta $
4. 奇偶性
- $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $
- $ \cos(-\theta) = \cos\theta $
- $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $
- $ \cot(-\theta) = -\cot\theta $
5. 互补角关系
- $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta $
- $ \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta $
- $ \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta $
- $ \cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta $
三、和差角公式
6. 和角公式
- $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $
- $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $
- $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $
7. 差角公式
- $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $
- $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $
- $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $
四、倍角与半角公式
8. 倍角公式
- $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $
- $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $
- $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $
9. 半角公式
- $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $
- $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $
- $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $
五、表格总结：九大公式一览
| 公式类型 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | 正切与正弦余弦 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | 三角恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 周期性 | 角度周期 | $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta $, $ \tan(\theta + \pi) = \tan\theta $ |
| 奇偶性 | 函数奇偶性 | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $, $ \cos(-\theta) = \cos\theta $, $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $ |
| 互补角关系 | 余角公式 | $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta $, $ \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta $ |
| 和角公式 | 和角公式 | $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $, $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $ |
| 差角公式 | 差角公式 | $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $, $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $ |
| 倍角公式 | 倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $, $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $, $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
| 半角公式 | 半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $, $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ |
通过以上九个核心公式，我们可以系统地理解和应用正弦、余弦、正切和余切函数。这些公式不仅是解题的关键工具，也是深入理解三角函数本质的基础。建议结合图形、单位圆以及实际例题进行练习，以加深对公式的掌握与运用能力。
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