在数学学习中，定积分是一个重要的概念，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。它不仅用于计算面积、体积等几何问题，还在解决实际问题中发挥着关键作用。掌握一些常用的定积分公式，对于提高解题效率和理解积分思想具有重要意义。本文将为大家整理一份全面的“定积分公式大全”，帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、基本定积分公式
1. 常数函数的积分：
$$
\int_a^b C \, dx = C(b - a)
$$
2. 幂函数的积分：
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
定积分形式：
$$
\int_a^b x^n \, dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}
$$
3. 指数函数的积分：
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
定积分形式：
$$
\int_a^b e^x \, dx = e^b - e^a
$$
4. 对数函数的积分：
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C
$$
定积分形式（当 $ a > 0 $）：
$$
\int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \ln b - \ln a
$$
二、三角函数的积分
1. 正弦与余弦函数：
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
定积分形式：
$$
\int_a^b \sin x \, dx = -\cos b + \cos a
$$
$$
\int_a^b \cos x \, dx = \sin b - \sin a
$$
2. 正切与余切函数：
$$
\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C
$$
$$
\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C
$$
3. 正割与余割函数：
$$
\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C
$$
$$
\int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C
$$
三、反三角函数的积分
1. 反正弦函数：
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$
2. 反余弦函数：
$$
\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arccos x + C
$$
3. 反正切函数：
$$
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C
$$
四、特殊函数的积分
1. 高斯函数（正态分布）：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}
$$
2. 伽马函数（Γ函数）：
$$
\Gamma(n) = \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} \, dx
$$
当 $ n $ 为正整数时，$ \Gamma(n) = (n-1)! $
五、对称性与奇偶函数的积分
1. 偶函数的积分：
若 $ f(x) $ 是偶函数，则：
$$
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx
$$
2. 奇函数的积分：
若 $ f(x) $ 是奇函数，则：
$$
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0
$$
六、分部积分法（适用于乘积函数）
分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
七、换元积分法（变量替换）
设 $ x = g(t) $，则：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t)) \cdot g'(t) \, dt
$$
八、常见定积分结果汇总
| 函数 | 积分表达式 | 定积分结果（从 0 到 1） |
|------|------------|------------------------|
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $ | $ \frac{1}{n+1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ | $ e - 1 $ |
| $ \sin x $ | $ -\cos x $ | $ 1 - \cos 1 $ |
| $ \cos x $ | $ \sin x $ | $ \sin 1 $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln x $ | $ \ln 1 - \ln 0 $（发散） |
结语
定积分是微积分的重要组成部分，熟练掌握各类函数的积分公式，不仅能提升解题速度，还能加深对积分本质的理解。希望本文整理的“定积分公式大全”能够成为你学习过程中的有力工具。在实际应用中，还需结合具体题目灵活运用这些公式，并注意积分上下限和函数定义域的变化。
