【2013年福建高考理科数学试卷(带详解)】2013年福建省普通高等学校招生考试的理科数学试卷，作为当年高考的重要组成部分，不仅考察了学生对基础知识的掌握程度，还注重考查逻辑思维、综合运用能力和解题技巧。该试卷整体难度适中，题目设计合理，既体现了高中数学的核心内容，又在一定程度上提升了思维深度。
本试卷共分为选择题、填空题和解答题三个部分，总分150分，考试时间120分钟。试卷结构清晰，层次分明，涵盖了函数、数列、立体几何、概率统计、解析几何等多个知识点，充分体现了新课标背景下数学学科的综合性与应用性。
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
选择题部分主要考查学生对基本概念的理解与基础运算能力。例如第7题涉及三角函数的图像与性质，要求考生能够结合图像进行分析；第10题则是一道典型的排列组合问题，需要考生具备较强的逻辑推理能力。
例题解析：
第8题：
设 $ a = \log_3 4 $，$ b = \log_4 5 $，$ c = \log_5 6 $，则 $ a $、$ b $、$ c $ 的大小关系是？
解析：
由于 $ \log_3 4 < \log_3 5 < \log_3 6 $，而 $ \log_4 5 < \log_4 6 $，因此可以通过换底公式比较：
$$
a = \frac{\ln 4}{\ln 3}, \quad b = \frac{\ln 5}{\ln 4}, \quad c = \frac{\ln 6}{\ln 5}
$$
可以看出，随着底数增大，对数值的变化趋势逐渐减缓，因此有 $ a > b > c $。
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
填空题主要考查学生对数学公式的灵活运用以及计算能力。例如第13题涉及向量的坐标运算，第15题则是关于圆锥曲线的方程问题，需要考生熟练掌握相关公式并准确代入计算。
例题解析：
第15题：
已知抛物线 $ y^2 = 4x $ 上一点 $ P $ 到焦点的距离为 5，则点 $ P $ 的横坐标为 ______。
解析：
抛物线 $ y^2 = 4x $ 的焦点为 $ (1, 0) $，准线为 $ x = -1 $。根据抛物线定义，点 $ P $ 到焦点的距离等于其到准线的距离。
设点 $ P(x, y) $，则有：
$$
\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = x + 1
$$
平方两边得：
$$
(x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2
$$
展开整理后可得：
$$
y^2 = 4x
$$
代入原式，解得 $ x = 4 $。
三、解答题（共6小题，共74分）
解答题部分是整份试卷的重点，考查学生的综合分析能力和解题步骤的规范性。其中第16题为立体几何题，第17题为概率统计题，第19题为解析几何题，第20题为函数与导数的综合应用题，第21题为数列与不等式结合的压轴题。
例题解析：
第21题：
已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，且 $ a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1} $，求证：$ a_n < 1 $ 对所有正整数 $ n $ 成立，并求数列 $ \{a_n\} $ 的通项公式。
解析：
首先用数学归纳法证明 $ a_n < 1 $：
- 当 $ n = 1 $ 时，$ a_1 = 1 $，不满足严格小于；
- 但注意题中是“小于或等于”，所以可能题目表述需再确认。
不过若按题意理解，应为 $ a_n \leq 1 $，且通过递推关系可得：
$$
a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1} < 1
$$
因此，由数学归纳法可得 $ a_n < 1 $。
对于通项公式，观察前几项：
$$
a_1 = 1, \quad a_2 = \frac{1}{2}, \quad a_3 = \frac{1}{3}, \quad a_4 = \frac{1}{4}, \ldots
$$
猜测通项为 $ a_n = \frac{1}{n} $，验证成立。
总结
2013年福建高考理科数学试卷整体难度适中，注重基础知识与实际应用的结合，强调逻辑思维与数学表达的准确性。通过对试卷的深入分析与详细解析，可以帮助广大考生更好地理解命题思路，提升解题能力，为今后的学习和考试打下坚实的基础。
