【自动控制原理习题及答案】在学习自动控制原理的过程中，习题练习是巩固知识、提升理解能力的重要手段。通过做题，不仅能够加深对基本概念和理论的理解，还能提高分析问题和解决问题的能力。本文将围绕“自动控制原理习题及答案”这一主题，提供一些典型例题及其详细解析，帮助读者更好地掌握相关知识点。
一、系统模型与传递函数
题目1：
已知一个线性定常系统的微分方程为：
$$
\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = u(t)
$$
求该系统的传递函数。
解析：
传递函数定义为输出与输入的拉普拉斯变换之比，假设初始条件为零。
对微分方程两边取拉氏变换得：
$$
s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = U(s)
$$
整理可得：
$$
Y(s)(s^2 + 3s + 2) = U(s)
$$
因此，传递函数为：
$$
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2}
$$
二、系统稳定性分析
题目2：
已知一个闭环系统的特征方程为：
$$
s^3 + 2s^2 + 3s + 4 = 0
$$
判断该系统是否稳定。
解析：
可以使用劳斯-赫尔维茨判据来判断系统的稳定性。
构造劳斯表如下：
| s³ | 1 | 3 |
| s² | 2 | 4 |
| s¹ | (2×3 - 1×4)/2 = 1 | 0 |
| s⁰ | 4 | |
从劳斯表可以看出，第一列元素为：1, 2, 1, 4，均为正数，说明系统是稳定的。
三、根轨迹分析
题目3：
已知开环传递函数为：
$$
G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}
$$
绘制其根轨迹图，并分析当K变化时，系统极点的变化情况。
解析：
根轨迹的绘制步骤如下：
1. 起点与终点： 根轨迹起始于开环极点（s=0, -1, -2），终止于开环零点（无零点）或无穷远处。
2. 实轴上的根轨迹： 在实轴上，根轨迹存在于极点之间以及负无穷到第一个极点之间。
3. 渐近线： 渐近线的角度为 $\frac{(2k+1)\pi}{n-m}$，其中 $n=3$，$m=0$，故角度为 $60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$。
4. 分离点： 解方程 $\frac{d}{ds}[G(s)H(s)] = 0$ 可得分离点位置。
通过以上步骤，可以大致画出根轨迹图，随着K的增大，系统极点从原点向右移动，可能进入不稳定区域。
四、频率特性分析
题目4：
已知系统的开环传递函数为：
$$
G(j\omega) = \frac{1}{j\omega(1+j\omega)}
$$
求其幅频特性和相频特性。
解析：
将 $s = j\omega$ 代入传递函数中：
$$
G(j\omega) = \frac{1}{j\omega(1+j\omega)} = \frac{1}{j\omega - \omega^2}
$$
计算幅值：
$$
|G(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + \omega^4}} = \frac{1}{\omega\sqrt{1+\omega^2}}
$$
计算相位角：
$$
\angle G(j\omega) = -90^\circ - \arctan(\omega)
$$
五、控制系统设计
题目5：
设计一个比例控制器，使得系统响应满足超调量小于10%，调节时间小于2秒。
解析：
比例控制器的设计需结合系统的动态性能指标。通常需要进行以下步骤：
1. 确定系统的开环传递函数；
2. 计算系统在未加控制器时的性能指标；
3. 选择合适的比例增益K，使系统满足要求；
4. 进行仿真验证或实验测试。
由于具体系统结构未知，无法给出精确数值，但可以通过调整K值，逐步优化系统响应。
结语
通过对“自动控制原理习题及答案”的深入研究与练习，可以有效提升对控制系统理论的理解与应用能力。希望上述例题与解析能对学习者有所帮助，同时也提醒大家，在学习过程中应注重理解而非单纯记忆答案，这样才能真正掌握自动控制的核心思想与方法。
